Kalkulator Drgań Harmonicznych - Położenie, Prędkość, Energia

Każde wahadło, każda struna i każda sprężyna wykonuje ten sam ruch

Ruch harmoniczny prosty to sinusoida: x(t) = A * sin(omega*t + phi). Amplituda A mówi jak daleko, pulsacja omega jak szybko, a faza phi - od którego momentu startujemy. Kalkulator oblicza położenie, prędkość, przyspieszenie i energię w dowolnej chwili t. Podajesz trzy liczby - dostajesz pełny obraz drgania.

Jak analizować drgania harmoniczne - krok po kroku

Amplituda A - maksymalne wychylenie od położenia równowagi. W metrach lub centymetrach. Wahadło zegarowe: 5-10 cm, struna gitary: 1-3 mm, głośnik: 0,01-1 mm.
Okres T - czas jednego pełnego cyklu drgań w sekundach. Wahadło 1 m: 2 s, struna A4 (440 Hz): 0,00227 s.
Faza początkowa phi - w stopniach. 0 = start z równowagi (ruch w prawo), 90 = start z maksymalnego wychylenia (ruch w dół). Domyślnie 0.
Chwila czasu t - w sekundach. W jakiej chwili chcesz poznać stan drgania.
Odczytaj wyniki - położenie x, prędkość v, przyspieszenie a, energia kinetyczna i potencjalna, faza w danej chwili.

4 kluczowe liczby ruchu harmonicznego

Amplituda A

Maks. wychylenie

|x| nigdy nie przekroczy A

Pulsacja omega

omega = 2*pi / T

rad/s - szybkość kątowa drgania

Maks. prędkość

v_max = A * omega

Osiągana w punkcie równowagi

Maks. przyspieszenie

a_max = A * omega2

Osiągane przy maks. wychyleniu

Wzory ruchu harmonicznego prostego

Wielkość	Wzór	Jednostka
Położenie	*x(t) = A sin(omegat + phi)*	m
Prędkość	*v(t) = Aomega * cos(omegat + phi)*	m/s
Przyspieszenie	*a(t) = -Aomega2 * sin(omegat + phi)*	m/s2
Pulsacja	*omega = 2pi / T = 2pif**	rad/s
Energia całkowita	*E = 0,5 m * omega2 * A2**	J (z masą)

Ciekawostki o drganiach harmonicznych

Prędkość i przyspieszenie nigdy nie są maksymalne jednocześnie. Gdy prędkość = max (punkt równowagi), przyspieszenie = 0. Gdy przyspieszenie = max (skraj), prędkość = 0. Przesunięcie fazowe 90 stopni.

Struna A4 na fortepianie drga 440 razy na sekundę (omega = 2 764 rad/s). Amplituda: ok. 1 mm. Maksymalna prędkość struny: 2,76 m/s - prawie 10 km/h.

Wahadło i sprężyna wykonują ten sam ruch harmoniczny - mimo że fizycznie wyglądają zupełnie inaczej. Oba opisuje ta sama sinusoida. Różnica to tylko wartość omega.

Kryształ kwarcu w zegarku drga z częstotliwością 32 768 Hz (omega = 205 887 rad/s). Amplituda: nanometry. Ta precyzja daje dokładność +/- 1 sekunda na miesiąc.

FAQ - Najczęściej zadawane pytania

Jaka jest różnica między częstotliwością a pulsacją?

Częstotliwość f to ile pełnych drgań na sekundę (w Hz). Pulsacja omega = 2*pi*f to szybkość kątowa (w rad/s). Omega jest wygodniejsza we wzorach bo eliminuje ciągłe mnożenie przez 2*pi. Dla f = 1 Hz: omega = 6,283 rad/s.

Co oznacza faza początkowa phi?

Faza phi mówi, w jakim stanie drganie startuje w chwili t=0. phi=0: ciało w równowadze, rusza w prawo. phi=90 stopni: ciało w maksymalnym wychyleniu, zaczyna opadać. phi=180: w równowadze, rusza w lewo. phi=270: w minimalnym wychyleniu, zaczyna wzrastać.

Dlaczego przyspieszenie jest proporcjonalne do wychylenia?

Bo siła przywracająca (sprężyna F=-kx lub grawitacja) jest proporcjonalna do wychylenia. Druga zasada Newtona: a = F/m = -(k/m)*x. Im dalej od równowagi, tym silniejsza siła ciągnie z powrotem, tym większe przyspieszenie. Znak minus = kierunek zawsze ku równowadze.

Czy amplituda wpływa na okres drgań?

W idealnym ruchu harmonicznym prostym - nie. Okres zależy tylko od parametrów układu (masa + sztywność sprężyny lub długość wahadła + g), nie od amplitudy. To izochronizm - odkrycie Galileusza. W praktyce przy dużych amplitudach pojawiają się nieliniowości i okres się wydłuża.

Jak energia zamienia się w trakcie drgania?

Energia całkowita jest stała. W skrajnych położeniach: 100% energii potencjalnej, 0% kinetycznej (prędkość = 0). W równowadze: 0% potencjalnej, 100% kinetycznej (prędkość max). Pomiędzy - płynna zamiana. Suma Ek + Ep = const w każdej chwili.

Czy drgania harmoniczne występują w przyrodzie?

Praktycznie wszędzie. Struny instrumentów, wahania temperatury dobowej, drgania cząsteczek w kryształach, obwody elektryczne LC, fale elektromagnetyczne, a nawet puls serca (w przybliżeniu). Każdy układ z siłą przywracającą proporcjonalną do wychylenia drga harmonicznie.